Zahlen und Zahlenmengen

In der Mathematik baut alles aufeinander auf. Und das erste, was einen in Verbindung mit Mathe in den Sinn kommt, sind natürlich Zahlen. In dem Mathematikunterricht der Grundschule lernt man schon, wie man positive ganze Zahlen bis 1.000.000 addieren und subtrahieren kann. Sobald man dann auf das Gymnasium wechselt, ändert sich der Anspruch in Mathe allerdings etwas. Hier geht es dann nichtmehr darum, mit immer größer werdenden Zahlen zu rechnen, sondern das Verständnis des Zahlenraums nach und nach zu erweitern und dafür zu sorgen, dass das Rechnen immer weiter in den Hintergrund rückt, während man sich mehr und mehr mit logischen Problemen befasst und tiefer in die Materie der Mathematik eindringt.

Natürliche Zahlen

In der 5. Klasse begegnet man erstmals dem Begriff der Zahlenmenge.

Eine Zahlenmenge ist eine Menge an Zahlen, die begrenzt sein kann, aber nicht sein muss.

Die erste Zahlenmenge, die man am Gymnasium verwendet, ist die Menge der natürlichen Zahlen.

 

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Formelzeichen \mathbb {N}  abgekürzt. In der Menge \mathbb {N}  sind die Zahlen enthalten, die wir zum zählen verwenden, also die Folgenden:

 

    \mathbb {N}  = { 1; 2; 3; 4; 5;...}

 

Ist eine Zahl in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten, so schreibt man das wie folgt auf:

    5\in {\mathbb {N}}    ;  Man spricht: "fünf ist Element der natürlichen Zahlen".

     

 

In der Schulmathematik wird anstatt des offizellen Formelzeichens \mathbb {N}  häufiger die andere Schreibweise (\mathrm {I\!N} ) verwendet.

Die Zahl 0 ist grundsätzlich nicht Element der natürlichen Zahlen. Soll die 0 dennoch enthalten sein, so schreibt man \mathbb {N} 0 , also mit tiefgestellter Null.

 

Sämtliche Primzahlen sind in den natürlichen Zahlen enthalten.

Da eine Primzahl per Definition genau zwei verschiedene Teiler besitzt, ist 1 keine Primzahl. Außerdem kann jede natürliche Nichtprimzahl als Produkt von Primzahlen geschrieben werden (Primfaktorzerlegung); die 1 ist hier die einzige Außnahme.

 

Beispiel: 90 = 2 • 3 • 3 • 50

Ganze Zahlen

Die Menge \mathbb {Z}  der ganzen Zahlen erweitert die natürlichen Zahlen so, dass sämtliche positiven als auch negativen Zahlen mit eingeschlossen sind. Hierbei gilt: für jede natürliche Zahl existiert ihre additive Inverse, also dieselbe Zahl mit geändertem Vorzeichen.

    \mathbb {Z}  = {...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;...}

 

An einem Zahlenstrahl kann man sich die Menge der ganzen Zahlen verdeutlichen:

kem GanZ GanZErarKl 2 Ganze Zahlen kennenlernen Obwohl 0 hier als postive Zahl dargestellt ist, besitzt 0 sowohl positives als auch negatives Vorzeichen.

Den Abstand einer Zahl vom Ursprung der Zahlengeraden nennt man Betrag dieser Zahl. Man schreibt:

 

 

Allgemein:   |±a|= a

Beispiel:       |-5|= 5

Rationale Zahlen

Die Menge ℚ der rationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch  geschrieben werden kann, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Da Brüche negativ sein können, sind sowohl positive als auch negative Zahlen enthalten.

 

Die Menge ℚ ist in der Schule bis zur 9. Klasse die Zahlenmenge, mit der gerechnet wird.

 

Die rationalen Zahlen lassen auf der Zahlengeraden keine Lücke, sind also beliebig dicht. Hieraus folgt, dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine weiter rationale Zahl liegen muss.

 

Vorsicht: Funktionen, die als Definitionsmenge D nur die rationalen Zahlen ℚ besitzen, sind nicht stetig.

 

Die irrationalen Zahlen sind die "Gegenmenge" zu den rationalen Zahlen. Hier sind all diejendigen Zahlen enthalten, die nicht als Bruch dargestellt werden können. Ein bekanntest Beispiel ist die Zahl \pi .

Es gibt jedoch keine tatsächliche "Menge der irrationalen Zahlen".

 

Reelle Zahlen

Die Menge \mathbb {R}  der reellen Zahlen ist derjenige Zahlenraum, in dem die rationalen als auch die irrationalen Zahlen enthalten sind.

 

Die reellen Zahlen bilden in der Mathematik eine bedeutende Zahlenmenge, die einen jeden Schüler ab der 9. Klasse lang begleiten wird.

Für Funktionen sind die rellen Zahlen als Definitionsmenge von großer Bedeutung, da nur sie gewährleisten, jedem Variablenwert einen Funktionswert zuzuordnen.

 

In einem Schaubild kann man die einzelnen Zahlenmengen nochmals übersichtlich darstellen:

 

Zahlenmenge und Ausschlüsse:

 

Geht man von einer Zahlenmenge aus (z.B. \mathbb {R} ) und möchte auf Grund von aufgabenspezifischen Fragestellungen oder auf Grund von mathematischen Notwendigkeiten Zahlen ausschließen, so wir dies folgendermaßen notiert:

 

G = \mathbb {R}  \ { 1 }

 

hiermit wird die 1 aus den reellen Zahlen ausgeschlossen. Mehrere Ausschließungen werden mit Semikolon nach Zahlengröße aufsteigend notiert.

 

Am Beispiel:

 

f(x) = 1 / x - 1

 

Würde man x = 1 einsetzen wird der Nenner 0  -> Siehe Brüche (hier klicken)

Aus diesem Grund muss die 1 ausgeschlossen werden als Grundmenge!