Lösungsformel

(Mitternachtsformel) :

 

Um von quadratischen Funktionen (graphisch: Parabeln) die Nullstellen zu berechen, gibt es im Prinzip drei verschiedene Möglichkeiten.

1.) Die Lösungsformel (Mitternachtsformel)

2.) Den Satz von Vieta

3.) Der Funktionesterm ist eine binomische Formel

{4.)quadratische Ergänzung (wird hier vorerst nicht für Nullstellen verwendet)}

 

Der Funktionsterm einer quadratischen Funktion enthält mindestens und maximal ein x² (Grad der Funktion: 2).

Aus der Normalform des Funktionsterms:

 

f(x) = ax² + bx + c

 

eingesetzt in

 

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

 

Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, kann es bis zu 2 Nullstellen geben.

 

Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der Wurzel, also dem Radikand, ab.

Bei der Lösungsformel hat der Radikant

   b² - 4ac

einen besonderen Namen. Er wird Diskriminante der quadratischen Gleichung (D) gennant.

 

  • Für D > 0 hat die Quadratwurzel in der Lösungsformel einen positiven Wert, sodass es zwei verschiedene reelle Lösungen x_{1} und x_{2} gibt.
  • Für D = 0 hat die Quadratwurzel den Wert 0. Da es keinen Unterschied macht, ob man 0 addiert oder subtrahiert, gibt es trotz des Plus-Minus-Zeichens genau eine reelle Lösung (der Vielfachheit 2).
  • Für D < 0 ist die Quadratwurzel der Lösungsformel im Körper der reellen Zahlen (\mathbb {R} ) nicht definiert. Es existiert also keine reelle Lösung. Anders sieht die Situation aus, wenn man den Körper der komplexen Zahlen zugrunde legt. In diesem Fall gibt es zwei (nicht-reelle) Lösungen, die zueinander konjugiert komplex sind.

 

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Tipp der Experten:

Achtung!

Man muss die Gleichung mit + und - im Zähler vor der Wurzel ausrechnen! Nicht vergessen, sondern Punkte mitnehmen!

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Gleichungen

 

  • 8x² − 6x + 1 = 0

 

  • x² + 6x + 25 = 0

 

  • x² − 4x + 29 = 0

 

  • x² − 34/15 x + 1 = 0

 

____________________________________________________Ab hier Lösung_________________________________________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • x1 = 0,5 ; x2 =0,25

 

  • keine Lösung

 

  • keine Lösung

 

  • x1 = 3/5 ; x2 = 5/3